Краткое содержание
Вводит темы Баха (Музыкальное приношение), Эшера и Гёделя; задаёт архитектуру всей книги.
Дайджест
1. Бах у короля (1747). Интродукция открывается исторической сценой: вечером 7 мая 1747 года в Потсдаме Фридрих Великий, сам флейтист и любитель музыки, прерывает домашний концерт словами «Господа, старый Бах приехал!». Король водит Баха по дворцу, показывая новые фортепиано Зильбермана (см. историю фортепиано), и предлагает ему тему для импровизации. Бах тут же играет на неё трёхголосную фугу; на просьбу сымпровизировать шестиголосую он отвечает, что не каждая тема для этого годится. Вернувшись в Лейпциг, Бах сочиняет на «королевскую тему» целый цикл — «Музыкальное приношение»: два ричеркара (на три и на шесть голосов), десять канонов и трио-сонату. Латинское посвящение складывается в акростих RICERCAR (см. Regis Iussu Cantio Et Reliqua Canonica Arte Resoluta) — первый пример той игры уровней, которой посвящена книга.
2. Каноны и фуги. Хофштадтер объясняет устройство канона и фуги: тема звучит в нескольких голосах, «копии» которой могут быть сдвинуты во времени, транспонированы, обращены (перевёрнуты по высоте), пущены задом наперёд (ракоходный, «крабий» канон) или растянуты (канон в увеличении). Главное в канонах — то, что несколько копий одной темы, наложенные друг на друга, порождают осмысленное целое: это первый намёк на тему изоморфизма и самоотнесённости.
3. Бесконечно восходящий канон и «Странная петля». Особое место занимает Canon per tonos: каждый его проход модулирует на тон выше, и после шести проходов музыка возвращается в исходную тональность до минор — только на октаву выше. Канон можно «склеить» так, что он бесконечно поднимается и при этом всё время возвращается к себе. Здесь вводится центральное понятие книги — Странная Петля: движение вверх (или вниз) по уровням иерархической системы, которое неожиданно приводит в исходную точку.
4. Эшер. Самые наглядные Странные Петли — у М. К. Эшера: «Водопад» (вода течёт вниз и при этом замкнуто возвращается наверх), «Восхождение и спуск» (бесконечная лестница монахов), «Рисующие руки» (каждая рука рисует другую), «Метаморфозы» (плавное перетекание одних форм в другие). Эшер, по Хофштадтеру, — визуальный аналог Баха: он превращает парадокс в зримую конструкцию.
5. Гёдель. Третья вершина триады — Курт Гёдель. Его идея восходит к древнему парадоксу Эпименида («Это утверждение ложно»). В 1931 году Гёдель показал, как построить внутри формальной арифметики (системы Principia Mathematica) высказывание, которое, по сути, говорит о себе: «Это утверждение не может быть доказано в данной системе». Если система непротиворечива, это высказывание истинно, но недоказуемо — отсюда теорема о неполноте: никакая достаточно богатая непротиворечивая формальная система не может доказать всех истин арифметики. Ключ к приёму — гёделевская нумерация, позволяющая формулам говорить о формулах.
6. Краткая история математической логики. Чтобы показать, почему результат Гёделя стал потрясением, Хофштадтер пробегает историю: от Евклида и неевклидовых геометрий через Кантора, Буля, Фреге и Пеано к парадоксам теории множеств (Рассела, Греллинга — «автологическое/гетерологическое»). Ответом стали теория типов Рассела и Уайтхеда и программа Гильберта — доказать полноту и непротиворечивость математики её же средствами. Гёдель показал, что эта программа невыполнима.
7. Машины и мышление. Отдельная линия — вычислительные машины и искусственный интеллект: от арифмометров Паскаля и Лейбница к Аналитической машине Бэббиджа и комментариям Ады Лавлейс, а затем к Тьюрингу. Центральный вопрос книги: может ли система, подчиняющаяся жёстким правилам, быть гибкой, творческой, «мыслящей»? Хофштадтер намечает ответ: разум возникает из Странной Петли — способности системы представлять саму себя.
8. Архитектура книги и диалоги. В конце Хофштадтер объясняет форму ГЭБ: главы чередуются с диалогами, которые подражают музыкальным формам «Музыкального приношения» (каноны, фуги, инвенции, ричеркар). Героев — Ахиллеса и Черепаху — он заимствует у Зенона и у Льюиса Кэрролла (см. парадокс Кэрролла); позже к ним присоединятся Краб, Муравьед и другие. Диалоги вводят идеи интуитивно и в игровой форме, а главы затем разбирают их строго — так сама книга становится «музыко-логическим приношением».
Сквозная мысль
Бах, Эшер и Гёдель — три проявления одного явления: систем, которые, следуя собственным правилам, замыкаются на себя. Самоотнесённость — не дефект, а источник глубины: из неё растут и музыкальные чудеса Баха, и парадоксы Эшера, и неполнота математики, и, по гипотезе Хофштадтера, само сознание.
Ключевые понятия
- запутанная иерархия
- Фуга и канон
- Парадокс Эпименида
- Теорема Гёделя о неполноте
- Парадокс Греллинга
- Парадокс Кэрролла (Ахиллес и Черепаха)
- «Музыкальное приношение» Баха